Fibonacci NumberF(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) RecursionMemoizationDynamic ProgrammingBy Recursionint F(int n) { if(n  F(10)에서 타고 들어가게 되면, 같은 것이 호출되는 경우가 굉장히 많아진다. 노드들이 굉장히 많아지게 되고 엄청나게 느려진다.  By Memoizationint FF[1000]int init(){ for (i = 2; i 기록을 해둔 얘들은 바로 리턴이 되기 때문에, 간단한 재귀보다 더 빠르게 계산됨따라서 O(n)에 계산이 가능하다 모든 재귀가 memoization이 되는 것은 아니다. 결과 값만 의미가 있지, 내부 구조가 의미가 있는 경우에는 불가능하다. By Dyna..

Maximum SubarrayFind the consective subarray with maximum sum 합이 최대가 되는 연속되는 서브 배열을 찾아라O(\(N^3\)) is easy : sub array의 갯수가 n*(n+1) / 2개가 존재한다.O(\(N^2\)) is kind of easy : 연속인 subarray는 시작과 끝 점으로 존재함. 즉 \(_{n+1}\)C\(_2\)개의 subarray가 존재한다.O(N)?Do we allow subarray with zero elements?만약 전부 양수 : 배열 전체 (자기 자신도 부분 집합이라고 생각한다) O(\(N^2\))에서 보면, 이전에 구해둔 배열의 합에서 다음 것만 더하면 됨 => i~j 까지 더하는 과정이 O(1)로 줄어들게 됨 ..

Matrix MultiplicationMultiply 2 N by N MatricesTakes O(\(N^3\)) Time using Normal Method -> Let's consider only number multiplicationApply Divide and Conquer지금 A, B, C, D 이것들이 전부 N/2 by N/2 Matrix 들이다.이러한 행렬들을 위의 공식으로 계산하면 결국 N by N 행렬을 곱한 것과 같다.결국 이는 O(N^3)이다. Strassen's Algorithm곱하기 갯수에 집중해서 생각해보자곱하기가 7번뿐이다. 대신 덧셈과 뺄셈이 늘어났다곱셈이 줄어들기 때문에, O(2^log7N)이 된다.  Karatsuba Algorithm n x n 자리수를 곱하는 것O(n^..

가장 먼 점을 찾는 문제직관적으로 생각했을 때도, 가장 먼 점은 무조건 convex hull 위에 있어야한다. Rotating Calipers캘리퍼를 움직여서 가장 먼 것을 구하는 것이다. 왼쪽을 아무데서 구하고, 각도를 이용하여 "캘리퍼가 닿는 각도"를 확인한다. (180도가 넘는 각도)캘리퍼를 한바퀴 돌리면서 확인한다.   가장 먼 점의 쌍을 구하는 유일한 방법이다. Convex Hull을 구하면 풀 수 있으므로 O(NlogN)에 해결된다.

Smallest Convex Polygon containing all the points모든 점을 포함하는 가장 작은 볼록 다각형작다라는 것은 면적도 가장 작고, 변의 길이와 변의 개수가 모두 작은 것을 의미한다.-> 직관적으로 이해하려면, 밖에 고무줄을 두른다고 생각했을 때 딱 들어가는 것을 convex hull 이라고 할수 있다.  결국은 이 문제가 NlogN에 풀린다. Q) NlogN보다 빠를 수가 없다. A) 점들이 원 모양으로 좌표에 있다고 하면, 이걸 이은것이 convex hull이다. 그러니, 무작위 좌표값을 각도로 sorting을 하고 이어야한다. 따라서 sorting 이 NlogN보다 빠를 수 없기 때문에 최소 NlogN이 걸린다.  CCW (Counter-Clock-Wise) 좌회전 아..

Closest pair Computational Geometry직관과 심하게 충돌하는 경우 많음주어진 점들 중에서 가장 가까우 쌍을 찾기(2차원)Usually Input is given by Coordinates좌표 형태로 입력이 들어온다. (a,b), (c,d)가 주어진다면 -> \(\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\) 을 모든 쌍에 대해서 하면 \(n^2\)개가 생기고 이 중에 제일 작은거 찾으면 됨sqrt()라는 함수로 루트를 계산할 수 있지만, 무리수이기 때문에 정확한 계산이 불가능하다.  1 - Dimensional Versionsorting 후, 가장 옆에것과의 거리를 비교하여 가장 짧은 것을 고르면 됨Divide and ConquerFirst, Sort by x coordinate..

O notation에서 상수가 차이가 나기 때문에, 이 안에서 어떤게 더 좋을지 판단할 수 있다. 그런 류의 아주 복잡한 문제를 Quick Sort가 만들어낸다.  앞으로 이야기 하는 이야기에서는 Quick Sort가 그렇게 좋지 못하다는 것을 알게 될 것임. *Worst일 때는 merge sort가 더 좋다. 우리는 이걸 O(NlogN)으로 만들고 싶다.실제로는 merge보다 quick이 빠르다. 따라서 worst case만 고치면 O(NlogN)이 되면서 merge보다 빠르게 될 것이다. In Quick Sort : can we Find the Best Pivot?if we can do it in O(N), Quick Sort will run in Worst Case O(NlogN) time따라서, ..

Divide and Conquer입력을 나누어,더 작은 문제를 풀고작은 문제들의 답을 조합하여전체 문제듸 답을 만든다.아주 작은 문제는 어쨌는 풀 수 있다.  수 하나가 주어질 때도, 값이 큰지 작은지에 따라 다르다.어떤 문제든지 간에 size라는 것이 있고, 문제를 작게 나누어서 작은 문제를 풀고 이러한 답을 큰 문제를 푼다.이러한 작은 문제들은 재귀를 사용할 수 있다.  Recursive Merge Sortn개가 있다면, n/2로 나누고, 그것을 또 나누고.. 이를 반복하여 하나씩 남을 때까지 나눈다.이를 나누어서 목적지 배열에 Merge Alg를 사용해서 sorting을 한다. Merge Alg -> O(n) 왼쪽부터 하나씩 보면서 움직이는 것이므로 n번 걸린다.  https://m-in-zu.ti..

Problem Definition1차원으로 된 테이브에 내가 원하는 것을 찾으러 가는 것이 굉장히 오래걸림N Data Items, Parameters \(L_i\), \(F_i\)\(L_i\) : Size of data = Length on Tape\(F_i\) : Frequency of Usage Read and Write Data on a TapeWrite once, everythingRead many timesEach read starts from the Beginning of Tape>> 어떤 순서로 배치하면 좋을까?idea) 큰게 앞에 있으면 뒤에를 읽으러 갈 때마다 큰거를 읽으면서 가야한다. 즉, 큰게 앞에 있으면 좋지 않다자주 쓰는게 앞에 있어야한다.  Algorithm Just Store ..

Problem DefinitionN Jobs, \(J_1\), \(J_2\). ..., \(J_N\)Each \(J_i\) = (\(D_i\), \(P_i\)) > \(D_i\) : Deadline, \(P_i\) : ProfitThere are time slots where you can schedule jobsEach job takes 1 slot to finishprofit은 이익, deadline 전에 끝내야한다.  어떠한 1차원 배열이 있다고 생각하고, 어떤 job가 slot에 들어가는지 생각해보자 ex) {(2,2), (1,3), (1,1)}deadline이 1인게 2개 있기 때문에, 그 중 하나밖에 할 수 없다. 최대 profit은 5가 된다.  AssumptionAll deadlines a..