Matrix MultiplicationMultiply 2 N by N MatricesTakes O(\(N^3\)) Time using Normal Method -> Let's consider only number multiplicationApply Divide and Conquer지금 A, B, C, D 이것들이 전부 N/2 by N/2 Matrix 들이다.이러한 행렬들을 위의 공식으로 계산하면 결국 N by N 행렬을 곱한 것과 같다.결국 이는 O(N^3)이다. Strassen's Algorithm곱하기 갯수에 집중해서 생각해보자곱하기가 7번뿐이다. 대신 덧셈과 뺄셈이 늘어났다곱셈이 줄어들기 때문에, O(2^log7N)이 된다.  Karatsuba Algorithm n x n 자리수를 곱하는 것O(n^..

가장 먼 점을 찾는 문제직관적으로 생각했을 때도, 가장 먼 점은 무조건 convex hull 위에 있어야한다. Rotating Calipers캘리퍼를 움직여서 가장 먼 것을 구하는 것이다. 왼쪽을 아무데서 구하고, 각도를 이용하여 "캘리퍼가 닿는 각도"를 확인한다. (180도가 넘는 각도)캘리퍼를 한바퀴 돌리면서 확인한다.   가장 먼 점의 쌍을 구하는 유일한 방법이다. Convex Hull을 구하면 풀 수 있으므로 O(NlogN)에 해결된다.

Smallest Convex Polygon containing all the points모든 점을 포함하는 가장 작은 볼록 다각형작다라는 것은 면적도 가장 작고, 변의 길이와 변의 개수가 모두 작은 것을 의미한다.-> 직관적으로 이해하려면, 밖에 고무줄을 두른다고 생각했을 때 딱 들어가는 것을 convex hull 이라고 할수 있다.  결국은 이 문제가 NlogN에 풀린다. Q) NlogN보다 빠를 수가 없다. A) 점들이 원 모양으로 좌표에 있다고 하면, 이걸 이은것이 convex hull이다. 그러니, 무작위 좌표값을 각도로 sorting을 하고 이어야한다. 따라서 sorting 이 NlogN보다 빠를 수 없기 때문에 최소 NlogN이 걸린다.  CCW (Counter-Clock-Wise) 좌회전 아..

Closest pair Computational Geometry직관과 심하게 충돌하는 경우 많음주어진 점들 중에서 가장 가까우 쌍을 찾기(2차원)Usually Input is given by Coordinates좌표 형태로 입력이 들어온다. (a,b), (c,d)가 주어진다면 -> \(\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\) 을 모든 쌍에 대해서 하면 \(n^2\)개가 생기고 이 중에 제일 작은거 찾으면 됨sqrt()라는 함수로 루트를 계산할 수 있지만, 무리수이기 때문에 정확한 계산이 불가능하다.  1 - Dimensional Versionsorting 후, 가장 옆에것과의 거리를 비교하여 가장 짧은 것을 고르면 됨Divide and ConquerFirst, Sort by x coordinate..

O notation에서 상수가 차이가 나기 때문에, 이 안에서 어떤게 더 좋을지 판단할 수 있다. 그런 류의 아주 복잡한 문제를 Quick Sort가 만들어낸다.  앞으로 이야기 하는 이야기에서는 Quick Sort가 그렇게 좋지 못하다는 것을 알게 될 것임. *Worst일 때는 merge sort가 더 좋다. 우리는 이걸 O(NlogN)으로 만들고 싶다.실제로는 merge보다 quick이 빠르다. 따라서 worst case만 고치면 O(NlogN)이 되면서 merge보다 빠르게 될 것이다. In Quick Sort : can we Find the Best Pivot?if we can do it in O(N), Quick Sort will run in Worst Case O(NlogN) time따라서, ..

Divide and Conquer입력을 나누어,더 작은 문제를 풀고작은 문제들의 답을 조합하여전체 문제듸 답을 만든다.아주 작은 문제는 어쨌는 풀 수 있다.  수 하나가 주어질 때도, 값이 큰지 작은지에 따라 다르다.어떤 문제든지 간에 size라는 것이 있고, 문제를 작게 나누어서 작은 문제를 풀고 이러한 답을 큰 문제를 푼다.이러한 작은 문제들은 재귀를 사용할 수 있다.  Recursive Merge Sortn개가 있다면, n/2로 나누고, 그것을 또 나누고.. 이를 반복하여 하나씩 남을 때까지 나눈다.이를 나누어서 목적지 배열에 Merge Alg를 사용해서 sorting을 한다. Merge Alg -> O(n) 왼쪽부터 하나씩 보면서 움직이는 것이므로 n번 걸린다.  https://m-in-zu.ti..

Problem Definition1차원으로 된 테이브에 내가 원하는 것을 찾으러 가는 것이 굉장히 오래걸림N Data Items, Parameters \(L_i\), \(F_i\)\(L_i\) : Size of data = Length on Tape\(F_i\) : Frequency of Usage Read and Write Data on a TapeWrite once, everythingRead many timesEach read starts from the Beginning of Tape>> 어떤 순서로 배치하면 좋을까?idea) 큰게 앞에 있으면 뒤에를 읽으러 갈 때마다 큰거를 읽으면서 가야한다. 즉, 큰게 앞에 있으면 좋지 않다자주 쓰는게 앞에 있어야한다.  Algorithm Just Store ..

Problem DefinitionN Jobs, \(J_1\), \(J_2\). ..., \(J_N\)Each \(J_i\) = (\(D_i\), \(P_i\)) > \(D_i\) : Deadline, \(P_i\) : ProfitThere are time slots where you can schedule jobsEach job takes 1 slot to finishprofit은 이익, deadline 전에 끝내야한다.  어떠한 1차원 배열이 있다고 생각하고, 어떤 job가 slot에 들어가는지 생각해보자 ex) {(2,2), (1,3), (1,1)}deadline이 1인게 2개 있기 때문에, 그 중 하나밖에 할 수 없다. 최대 profit은 5가 된다.  AssumptionAll deadlines a..

BFSFrom BFS에서 시작하여 다익스트라를 증명할 수 있다.모든 엣지의 weight가 1이라고 할 때 shortest path를 찾을 수 있다.  queue를 사용함src에서 시작을 해서 src를 0으로 하고, 거리를 아는 것을 다 queue에 넣음.이후, 또 인접하는걸 모두 넣는다.거리가 1인 얘들이 전부 queue에 들어가야 거리가 2인 애들이 전부 queue에 들어갈 수 있다. 1이 전부 나와야 2가 전부 들어갈 수 있다. 2,3,4도 모두 같은 방식으로 queue에 들어왔다가 나옴  찾을 수 있지만 굉장히 느리다. edge weight를 1로 만들기 위해서 dummy node를 중간 중간에 넣어 모든 edge의 weight가 1이 되도록 한다.> 그래프가 매우 커지고 느려진다.  S에 가까운 ..

Dijkstra AlgorithmVersion of DijkstraOnly Shortest Path Length for each Node 경로를 구하는 것이 아니라 길이를 구하는 것Actual Path for each Node also 패스 노드까지 구함All possible Shortest Paths for each Node 모든 shortest path를 구함 - compact하게 표현하는 방법이 필요함Alternate ExplanationsAs a Variation of BFSSelect from Nearest to Furthest계속 짧은 길을 붙여나가는 방식은 shortest path를 찾을 것 같지만, 그렇지 않다. Shortest Path기 때문에 prim 처럼 풀 수 없다.  Shortes..